Как уменьшить размер вещи: - территория

Как уменьшить размер вещи: - территория

Задача 1. Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

Задача 2. Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1 000 000 (1 см : 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объяснить это противоречие? (Козлова Е. Г.Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2004.)

Обычное неправильное рассуждение при решении первой задачи: Раз все предметы в Лилипутии в 12 раз меньше, то и в спичечный коробок Гулливера поместится 12 лилипутских спичечных коробков. Стоит же наглядно представить (или нарисовать) маленький коробок и в 12 раз увеличенный, как становится понятной ошибка. В спичечный коробок Гулливера поместится 12 лилипутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту. Всего 12·12·12 = 1728 коробков. У лилипутского спичечного коробка не только длина, но и ширина и высота меньше в 12 раз, чем у гулливерского. А так как объём коробка равен произведению длины, ширины и высоты, то объём его меньше в 123, т. е. в 1728 раз.

Во второй задаче надо заметить, что речь идёт не о линейных размерах, а о площади, а значит, и число людей надо уменьшить не в 1 000 000, а в 1 000 0002, т. е. в триллион раз.

Геометрическое подобие изучается на уроках геометрии в 9 классе, но уже в 7 классе (на физическом кружке) можно дать ученикам понятие подобных фигур, как фигур одинаковой формы, но разных размеров; у подобных фигур все размеры отличаются в одно и то же число раз (коэффициент подобия), а все пропорции сохранены. Дети хорошо умеют пользоваться графическими редакторами для изменения размеров картинок, фотографий в своих компьютерах и потому легко представляют себе подобные фигуры.

Ученики могут сами показать для простых фигур, площадь которых они умеют вычислять (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг…), что если линейные размеры увеличить (уменьшить) в n раз, то площадь фигуры увеличится (уменьшится ) в n2 раз. В геометрии доказывается, что для любой, даже самой сложной по форме фигуры, площадь подобной ей фигуры, т. е. увеличенной или уменьшенной  в n раз, будет отличаться в n2 раз (любую сложную фигуру можно разбить с любой точностью на простые фигуры).

Возвращаясь к первой задаче, можно сказать, что объём любого тела (не обязательно прямого параллелепипеда) при изменении размеров в n раз изменяется в n3 раз.

Например, диаметр большого шара в 5 раз больше диаметра маленького, а объём больше уже в 125 раз.

Задача 3. Отец и сын наблюдали солнечное затмение, и темой их разговоров были Солнце и Луна. «Папа, – спросил мальчик, – а во сколько раз  Солнце дальше от нас, чем Луна?
«Насколько я помню, – отвечал отец, – в 387 раз». «Тогда я могу подсчитать, во сколько раз объём Солнца больше объёма Луны». «Пожалуй. ты прав», – ответил, подумав, отец. Во сколько же раз объём Солнца больше объёма Луны? (Квант для младших школьников, Квант №11, 1983 г.)

Решение (Квант №12, 1983 г.): Ключом к решению этой задачи является тот факт, что видимые (угловые) размеры Солнца и Луны одинаковы, что особенно хорошо наблюдать во время солнечных затмений. Поэтому из подобия следует, что радиус Солнца в 387 раз больше радиуса Луны, а объём Солнца в 3873 раз больше объёма Луны.

Итак, если размеры фигуры или тела изменить в n раз, то площадь фигуры или поверхности тела  изменится в n2 раз, а объём – в n3 раз. Это утверждение насколько просто, настолько и важно, что получило название закона «квадрата-куба». Впервые о нём написал Галилео Галилей в книге «Беседы и математические доказательства двух новых наук». Важным является вопрос о том, как будут меняться физические характеристики при изменении геометрических масштабов физических систем, т.е. геометрически подобных. Это важно в модельном проектировании различных инженерно-строительных сооружений, аэро- и гидродинамике, изучении тепловых процессов.  Так устойчивость зданий и сооружений при любых размерах может быть предсказана путём исследования модели, т.к. не зависит от изменения масштаба.

Устойчивость конструкции можно изучать на моделиРисунок из книги Джеймс Гордон «Конструкции, или почему не ломаются вещи»

«Известно, что средневековые строители использовали модели из гипса или сложенные из камня – если устойчива уменьшенная копия, то будет устойчив и его увеличенный оригинал.»

В обучении физике это позволяет коснуться понятия размерности, а также поговорить о симметрии физических законов при пространственно-временных преобразованиях. На примере первых двух задач можно заметить ученикам, что любая формула для площади любой фигуры должна иметь квадрат характерной длины, а для объёма – куб. Если это не так, то мы сразу, без лишних проверок, можем сказать, что в формуле есть ошибка. Формула для площади фигуры должна давать только квадратные метры, а для объёма тела только кубическите метры. Соответственно, если ищется, например, расстояние, пройденный путь, длина или ширина, то не могут получиться секунды, килограммы или квадратные метры, а только линейные метры, т.е.  метр в первой степени. Так ученики получают первое представление о понятии размерности физической величины.

ostЗадача 4. Останкинская телебашня высотой 530 метров весит 30000 тонн. Сколько будет весить точная модель этой башни высотою 53 см? (Квант для младших школьников, Квант №7, 1972 г., с. 66)

Т.к. размер уменьшили в 530:0,53=1000 раз, то, соответственно, объём башни уменьшится в 10003= 1000000000 раз. Т.к. масса пропорциональна объёму, то она тоже уменьшится в миллиард раз (плотность считаем неизменной). Ответ:  30 г. (Вариант задачи 4: Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8 000 000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг. Какой она будет высоты? Ответ: 1,5 м. Перельман Я.И. ‘Живая математика. Математические рассказы и головоломки’ – Москва: Наука, 1967 – с.160)

Задача 5. Как изменится давление башни (задача 4) на грунт?

p=mg/S.   m уменьшится в 10003 раз, S уменьшится в 10002 раз. Следовательно, давление уменьшится в 1000 раз.

Задача 6. Сколько приблизительно понадобится лилипутов, чтобы уравновесить вес Гулливера? (1728)

Задача 7. Почему физически неправдоподобными являются существа из фильмов-ужасов: люди-великаны или огромного размера насекомые?

Галилей первым хорошо показал, что не могут существовать животные-великаны во всём физически подобные обычным. Если увеличить  все линейные размеры животного или человека, например, в 3 раза, то масса (или вес) увеличится пропорционально кубу, т.е. в 27 раз. Сила мышц и прочность костей зависят от площади их поперечного сечения, следовательно, увеличатся пропорционально квадрату, т.е. только в 9 раз, и смогут выдержать лишь 9-кратную нагрузку. Чтобы выдержать 27-кратную нагрузку, кости и мышцы должны быть непропорционально толще.
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок Галилея. Кость обычной собаки и кость той же прочности для собаки в 3 раза больше. Очевидно, такая собака не будет отличаться той же проворностью, что собака нормальных размеров.

На верхней картинке (афиша американского фильма 1958 года) женщина-великан имеет пропорции обычной женщины. На самом деле такие ноги не смогли бы выдержать её гигантский вес, она не могла бы ступить ни шагу. Потому-то в природе, чем крупнее животное, тем толще его кости, тем более оно грузно и неповоротливо. По этой причине не существует животных сколь угодно большого размера.

Т.к. вес животных увеличивается пропорционально кубу линейных размеров, а сила – пропорционально квадрату, то, чем крупнее животное, тем меньше его относительная сила. Так муравей может поднять вес во много раз превышающий его собственный вес, человек может поднять свой собственный вес, а слон лишь четверть собственного веса. Блоха может прыгать на высоту много превышающую её собственный рост, человек не может прыгнуть выше собственного роста, а слон не может прыгать совсем.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В известном фильме Джеймса Кэмерона «Аватар» жители планеты Пандора  (на’ви) имеют рост почти в два раза превышающий человеческий, но при этом стройны и грациозны. Этому есть объяснение. Как упомянуто в фильме, их кости не аналогичны человеческим, а прочнее в три раза из-за естественных углеродных волокон.

Литература:
1. Кузнецов А.П. Как работают и думают физики. Саратов: Гос УНЦ «Колледж», 1994. (Глава 11. Подобие – один из способов узнать зависимость физических величин)
2.  Перельман Я.И. Занимательная механика. Москва1948. (Глава 10. Механика в живой природе)


Как уменьшить размер вещи: - территория 18
Таблица детских размеров: размеры детской обуви
Как уменьшить размер вещи: - территория 3
Как растянуть вещь из шерсти? Домашних условиях
Как уменьшить размер вещи: - территория 13
Страница автора: Группы
Как уменьшить размер вещи: - территория 92
Как постирать вещь, чтобы она села
Как уменьшить размер вещи: - территория 19
Как сделать костюм клоуна Я-Клоун
Как уменьшить размер вещи: - территория 28
Физика в школе » Задачи на подобие 1
Как уменьшить размер вещи: - территория 56
Что сделать чтобы вещь села: как постирать большую
Как уменьшить размер вещи: - территория 82
Наши удачные покупки на m (M Co) - Страница
Как уменьшить размер вещи: - территория 46
Как сделать, чтобы джинсы сели
Как уменьшить размер вещи: - территория 2
ВЯЗАНИЕ ИГРУШКИ АМИГУРУМИ КРЮЧКОМ Как связать мягкую
Как уменьшить размер вещи: - территория 20
Как уменьшить размер вещи: - территория 24
Как уменьшить размер вещи: - территория 96
Как уменьшить размер вещи: - территория 50
Как уменьшить размер вещи: - территория 61
Как уменьшить размер вещи: - территория 78
Как уменьшить размер вещи: - территория 99
Как уменьшить размер вещи: - территория 35